Exemple d'estimation d'une incertitude selon ISO 98-3

Le but de l’exercice est d'estimer l'incertitude de la densité ρ de l’acier à partir de billes en acier 100C6 à température ambiante.

La valeur de la densité sera comparée avec la valeur de référence pour la densité de cet acier.

Méthode des 5 M:

Equipements :

Balance électronique ayant une résolution de 1 mg
Micromètre ayant une résolution de 0,01 mm

Toutes les mesures ont été réalisées à une température de (23 ± 1) °C

Les billes au nombre de 8 ont les masses M en grammes suivantes :

 

8,348

8,349

8,351

8,350

8,349

8,350

8,351

8,349

 

Les billes au nombre de 8 ont les diamètres D suivants en mm:

 

12,68

12,68

12,68

12,70

12,69

12,69

12,68

12,68

 

Le volume d’une sphère est :

La densité de l’acier est donnée par la relation :

La meilleur estimation de la masse est donnée par :

Xm est la moyenne des 8 masses obtenues :

Zm représente les erreurs systématiques (calibration, résolution, erreur de lecture en valeurs positives ou négatives), nous considérerons dans cet exercice que Zm = 0.

L’écart-types s des 8 valeurs est : s = 1,06.10-³ g
L’incertitude (de répétabilité : Type A) sur la masse est donnée par la formule :

Le nombre de degré de liberté est donné par νx = n-1=7
L’incertitude sur Zm est de type B et suit une loi rectangulaire :
La balance à une résolution de r = 1 mg donc :

Le nombre de degré de liberté est νz = ∞ (incertitude de type B)
L’incertitude composée sur M est donnée par la moyenne quadratique (ISO 98-3) des incertitudes types:

Le nombre de degré de liberté pour l’incertitude composée νeff (ISO 98-3) est donné par la formule de Welch–Satterthwaite :

La meilleur estimation du diamètre est donnée par :

Xd est la moyenne des 8 diamètres obtenus :

Zd représente l’erreur due à la résolution (positive ou négative), nous considérerons dans cet exercice que Zd = 0.
L’écart-types s des 8 valeurs est : s = 7,56.10-³ mm
L’incertitude (de répétabilité : Type A) sur le diamètre est donnée par la formule :

Le degré de liberté est donné par νx = n-1=7
L’incertitude sur Zd est de type B et suit une loi rectangulaire :
Le micromètre à une résolution de r = 0,01mm donc :

Le nombre de degré de liberté est νz = ∞ (incertitude de type B)
L’incertitude composée sur M est donnée par la moyenne quadratique (ISO 98-3) des incertitudes types:

Le nombre de degré de liberté pour l’incertitude composée νeff (ISO 98-3) est donné par la formule de Welch–Satterthwaite :

Calculons la meilleure estimation de la densité :

Déterminons l’incertitude sur la densité :
Reprenons la formule de base (1)

L’incertitude est exprimée sous la forme de dérivée partielle, on peut donc écrire :

∂ρ/∂M et ∂ρ/∂D sont appelés les coefficients de sensibilité, ils témoignent de l’importance de l’incertitude associée, plus le coefficient est grand, plus l’incertitude type de la variable aura des répercussions sur l’incertitude élargie du Mesurande et ils permettent d’exprimer les incertitudes dans la même unité, car je le rappelle (nombreux écarts d’audit), on ne peut pas ajouter des incertitudes ayant des unités différentes tels que mm et g dans cet exemple.

Nous allons donc calculer ∂ρ/∂M et ∂ρ/∂D en dérivant la formule (1) et calculer uρ.

Le nombre de degré de liberté pour l’incertitude composée νeff (ISO 98-3) est donné par la formule de Welch–Satterthwaite :

Dans le tableau G.2 de l'ISO 98-3, pour un nombre de degré de liberté de 33 et une probabilité de 95%, le facteur d’élargissement K appelé t (loi de Student lorsque la loi n’est pas normale, ce qui n’est pas le cas : ν>30) est égal à 2,03.
L’incertitude élargie sur la densité vaut donc :

On peut donc exprimer le résultat de la densité par :

Discussion : La densité théorique d’un acier 100C6 est de 7,83.103 kg/m³, la valeur déterminée par l’expérience est correcte en tenant compte de l’incertitude : 7,83.

Si les dérivées partielles vous paraissent difficiles, il existe un autre moyen pour obtenir les coefficients de manière expérimentale:

Reprenons la formule (1) :

La masse moyenne M est de 8,3496 g et le diamètre moyen est de 12,685 mm.
On va faire varier M de ± 0,0001 g et garder D comme constante puis calculer ρ pour les 3 valeurs:

N°	M	D	ρ	Différence
1	8,3495	12,685	0,007812507	(2-1) 9,35686.10-8
2	8,3496	12,685	0,007812601	-
3	8,3497	12,685	0,007812694	(3-2) 9,35686.10-8

 

La variation de 0,0001g sur M entraine une variation de 9,35686.10-8 sur ρ, le coefficient de sensibilité est donc :

Nous avons bien le même résultat.

On va faire varier D de ± 0,001 mm et garder M comme constante puis calculer ρ pour les 3 valeurs:

N°	M	D	ρ	Différence
1	8,3496	12,684	0,00781445	(2-1) -1,84797.10-6
2	8,3496	12,685	0,007812601	-
3	8,3496	12,686	0,007810753	(3-2) -1,84739.10-6

 

La variation de 0,001mm sur M entraine une variation moyenne de -1,84768.10-6 sur ρ, le coefficient de sensibilité est donc :

Nous avons bien le même résultat.