Risque Client et Fournisseur

Ces estimations font souvent appel à des notions mathématiques compliquées et sont la plupart du temps, abordées avec une présentation complexe (très théorique avec des intégrales), sans aucune application numérique pour expliquer la démarche de calcul, ce qui rebute la plupart des lecteurs qui ont oubliés leurs connaissances mathématiques et de surcroit les néophites qui s'intéressent à ces notions (par curiosité ou par obligation pour aborder les nouveautés de la norme ISO 17025).

Nous allons essayer de rendre plus accessible ces notions par des applications numériques.

Petit rappel:

Risque du client: probabilité pour que le résultat d'un essai ou d'une analyse accepté par votre client soit en réalité non-conforme.

Ce risque est appelé: β et est noté probabilité Pc

Risque de l'OEC (producteur du résultat): probabilité pour que le résultat d'un essai ou d'une analyse déclaré non-conforme soit en réalité conforme.

Ce risque est appélé:α et est noté probabilité Pp

Reprenons nos 10 mesurages de pH: voir Régles de décision

10,2
9,7
10,3
10,1
9,8
10,5
10,0
9,6
10,4
9,5

 

Nous connaissons les bornes Maxi et Mini, l'écart-type: σ=0,348 et l'espérance mathématique: µ qui n'est autre que la moyenne: 10,01.

La probabilité d'obtenir des valeurs conformes est donnée par la relation suivante:

 

avec:

Loi supposée normale de la distribution (η représente la valeur du pH)

Le calcul de cette intégrale revient à calculer la surface de la gaussienne bornée par les limites fixées par le client:

Surface bornée entre [9,5 et 10,5].

La fonction EXCEL suivante permet de déterminer cette surface: =[LOI.NORMALE(10,5;10,01;0,348;VRAI)-LOI.NORMALE(9,5;10,01;0,348;VRAI)]=0,85 soit Pc=85%.

Attention, la distribution doit être cumulative ("VRAI").

Le risque client Rc=1-Pc est la différence entre 100% et la probabilité d'obtenir des analyses conformes: 85% soit 15%.

En supposant que mon client souhaite un risque Rc=10%, il faut donc que mon Pc soit de 90%, j'ai trois possibilités pour atteindre cet objectif:

1) Augmenter les bornes (en accord avec le client)

2) Utiliser un dispositif de mesurage plus précis (décision interne)

3) Garder le même équipement, diminuer les bornes et prendre en compte l'incertitude (décision interne).

Augmenter les bornes:

Connaissant l'écart-type de la série de mesures, on peut déterminer une incertitude de type A (estimée sur la répétabilité des mesurages):

En supposant que je prenne une bande de garde équivalent à l'incertitude, cela revient à situer mes bornes à: [9,4 et 10,6].

En recalculant la surface de la gaussienne: =[LOI.NORMALE(10,6;10,01;0,348;VRAI)-LOI.NORMALE(9,4;10,01;0,348;VRAI)]=0,92 soit Pc=92%.

Le risque client Rc=1-Pc est la différence entre 100% et la probabilité d'obtenir des analyses conformes: 92% soit 8%, l'objectif est atteint.

Utilisation d'un dispositif de mesurage plus précis:

L'équipement de mesure (Titrimètre) était équipé d'une burette de 20 ml, je la remplace par une burette de 5 ml permettant des incréments beaucoup plus précis.

L'électrode de pH basique est remplacée par une électrode dite de "qualité supérieure", permettant d'apprécier 2 chiffres après la virgule et calibrée en trois points.

Mon titrant (soude) fabriqué "in house" est acheté dans le commerce en tant que solution certifiée et associée à une incertitude.

Reprenons les valeurs obtenues après 10 nouveaux titrages:

10,16
9,72
10,25
10,04
9,84
10,47
10,00
9,65
10,36
9,59

 

Nous connaissons les bornes Maxi et Mini, l'écart-type: σ=0,304 et l'espérance mathématique: µ qui n'est autre que la moyenne: 10,00.

La fonction EXCEL suivante permet de déterminer cette différence: =[LOI.NORMALE(10,5;10,00;0,304;VRAI)-LOI.NORMALE(9,5;10,00;0,304;VRAI)]=0,90 soit Pc=90%.

Le risque client Rc=1-Pc est la différence entre 100% et la probabilité d'obtenir des analyses conformes: 90%, soit 10%, l'objectif est atteint.

Garder le même équipement, diminuer les bornes et prendre en compte l'incertitude:

Hypothèse de base: la série de mesurage suit une loi normale (dans la cas contraire, la fonction φ0(z) devra être exprimée selon une autre loi).

10,2
9,7
10,3
10,1
9,8
10,5
10,0
9,6
10,4
9,5

 

La moyenne est y0=10,01, l'écart-type vaut σ=0,348 et l'incertitude de type A vaut um=±0,11.

Les bornes sont réduites d'une bande de garde équivalent à l'incertitude soit [TRL=9,56;TRS=10,44].

La zone de tolérance du client est [TL=9,5;TS=10,5].

L'étendue de la plage réduite w=10,44-9,56=0,88 = 4Um.

Le risque client est donnée par la relation suivante:

La fonction φ0(z) (loi normale centrée réduite) est exprimé en fonction de z et se traduit par:

F(z) est une fonction de probabilité qui s'exprime par:

Et enfin, le risque de l'OEC (producteur) s'exprime par la relation suivante:

Déterminons la fonction F(z):

Déterminons z que l'on nommera z1 et z2 en fonction des bornes:

Ce type de fonction ne se résoud pas manuellement et nécessite généralement de nombreuses intégrations numériques ou par la méthode de Monté-Carlo.

Il existe des logiciels ou des applications WEB qui peuvent vous aider à résoudre ce type de calcul.

Nous allons déterminer RC:

En fait, compte tenu de la tolérance et de notre incertitude, il n'y a pas d'intérêt de borner entre - ∞ et ∞, d'autant que les softs ou les applications n'intégrent pas réellement les fonctions mais appliquent ce que l'on appelle la "méthode des trapèzes", ils fractionnent la courbe en petites surfaces bornées qu'il faudra sommer et considèrent que la courbe sur ces petites portions est assimilable à une droite, plus le fractionnement est important, meilleure est l'approximation.

Le risque client RC borné entre [-5;-1,465 et 1,408;+5] donne un résultat de 0,014 soit 1,4% bien inférieur au 10% pour une probabilité de 95%, l'objectif est atteint.

Le risque fournisseur (OEC) borné entre [-1,465;1,408] donne 0,092 soit 9,2% pour une probabilité de 95%, ce qui est parfaitement acceptable.