Pente et incertitudes
Calculer une pente « m » et déterminer la valeur de l'ordonnée à l'origine « b » sont des opérations relativement simples.
Y = mx+b
Voici les étapes à suivre pour déterminer l'incertitude sur une valeur de Y en fonction de x, de la pente « m » et de l'ordonnée à l'origine « b ».
On considère un graphique (x,Y) constitué de 7 points distincts.
Prenons un exemple concrêt: le titrage d'une solution lambda par un réactif, soit x le volume de titrant versé en ml et Y la réponse en mV de l'électrode.
On cherche pour l'instant l'incertitude sur Y si x = 2,2 ml.
On a affectée à chaque donnée (entrée et résultat) sa propre incertitude.
| Données |
Y |
X |
| Unité | mV | ml |
| U | ± 10 | ± 0,2 |
| 1 |
75 | 1,0 |
| 2 |
109 | 1,5 |
| 3 | 150 | 2,0 |
| 4 | 175 | 2,5 |
| 5 | 210 | 3,0 |
| 6 | 243 | 3,5 |
| 7 | 279 | 4,0 |
On va indiquer sur le graphique l'incertitude totale de chaque point.
Pour ce faire, tracez une ligne verticale et 2 lignes horizontales de demi-longueur égale aux incertitudes.
Ces lignes délimitent ce qu'on appelle un « rectangle d'incertitude».
On trace la meilleure droite passant par l'ensemble des points (l'utilisation de EXCEL est pratique), on remarque que les points extrêmes passent par la meilleure droite, si ce n'est pas le cas, voir la NOTE.
Tracez deux droites: une première qui passe au dessus des valeurs et par les deux angles supérieurs des rectangles d'incertitude extrêmes et une seconde qui passe sous les valeurs et par les angles inférieurs (droites bleues).
Cette technique en "Tunnel" sur le graphique correspond à une interpolation (recherche d'une valeur qui se trouve à l'intérieur de la zone des mesures). NOTE2
Calculez les deux pentes « m1» et « m2 ».
m1 = m2 = 68
m
Valeur m
Pour x = 2,2 ± 0,2 ml, on détermine graphiquement les valeurs de Y pour x = 2,0 et 2,4 ml.
On trouve respectivement Y = 120 et 167 mV pour x = 2,0 ml et Y = 147 et 194 mV pour x = 2,4 ml.
Calcul de Y
Calcul de U = [(194+167)/2-(147+120)/2] = ± 23,5
Y = (157,0 ± 23,5) mV: Valeur de l'incertitude forcément majorée avec cette technique (voir méthodes des moindres carrés).
Pour déterminer l'incertitude sur la pente, on est obligé d'utiliser la technique en "X".
Il faut que ces droites passent par tous les rectangles d'incertitude.
On calcul avec les mêmes coordonnées des points précédents,
la pente mini m
Coordonnées max (289;3,8) et (65;1,2)
Coordonnées min: (269;4,2) et (85;0,8)
Equation 1: m
Calcul de m
Calcul de U sur m
m
Si il n'y a pas de "point" singulier (NOTES 3), on prendra la valeur de la courbe de tendance EXCEL: mmoy = 67,1.
m
Pour calculer l'incertitude sur l'ordonnée b, on va utiliser une valeur remarquable (xc;Yc = 2,5;177,5) qui passe par les 3 droites (voir graphique):
La mesure de xc sur le graphique étant peu précise, utiliser la droite de tendance de Excel pour déterminer précisément ce point.
On peut écrire que:
Yc = m
Yc = m
Yc = m
En appliquant cette équation, cela revient à écrire que:
Delta (b) = U.xc = 16 . 2,5 = ± 40.
b
b
On remarque que si on calcul b
Si le graphique est au format semi-logarithmique: NOTES
1 - Sur le graphique, si l'un des points extrême ne passe pas par la meilleure droite, tracer un rectangle d'incertitude de même dimension à proximité du point et centré sur la droite.
On peut en tracer un à chaque extrémité si la meilleure droite ne passe par aucune extrémité.
2 - si on recherche une valeur qui se retrouve en dehors de la zone des mesures, on fera une extrapolation avec une technique en "X": tracés en pointillé sur le graphique.
Une première droite dont la pente est la plus grande possible
« m
3 - Une valeur est dite "singulière" lorsqu'elle ne suit pas la tendance naturelle de la droite ou de la courbe: valeur erronée, mauvaise manipulation, phénomène normal mais pas assez de résolution (refaire les mesures avec plus de points autour de la zone problèmatique).
4 - Dans le cas d'un graphique au format semi-logarithmique:
Dans le cas d'un graphique au format logarithmique:
