Les outils statistiques pour les laborantins (suite)
Z-Test sur les moyennes de deux populations (variances connues et non identiques)
Objectif: pour étudier l'importance de la différence
entre les moyennes x̄
Contraintes: connaître la variance
des deux populations σ
Problème: dans un laboratoire d'analyse chimique, une solution d'étalon d'ammonium E1 présente dans son certificat une dispersion plus importante que l'étalon E2.
La variance σ
Les moyennes respectives obtenues après analyse sur
chaque étalon sont x̄
Existe-t-il une différence entre les deux étalons vis-à-vis des moyennes obtenues?
Hypothèses et alternatives:
Scénario N°1 H
Scénario N°2 H
Prise de risque: α = 0,05 (unilatérale et bilatérale:0,025)
La Table des valeurs critiques pour une distribution normale donne pour α = 0,05: Z = 1,64 (unilatérale) et α = 0,05: Z = 1,96 (bilatérale)
Test statistique:
On considère deux populations avec des moyennes µ
µ
Conclusion:
Quel que soit le scénario, l'hypothèse nulle H
Z-Test sur les moyennes de deux populations (variances connues et identiques)
Objectif: pour étudier l'importance de la différence
entre les moyennes x̄
Contraintes: les deux populations doivent avoir la même variance connue σ², les distributions doivent être normales.
Problème: dans un laboratoire d'analyse, deux équipements sont comparés pour vérifier si l'étalonnage de chacun des appareils pourrait conduire à un meilleur résultat.
13 analyses d'un étalon réalisées avec
le premier équipement donnent un résultat de x̄
Les écarts-types entre les analyses sont identiques et σ=0,696 ppm.
Existe-t-il une différence entre les deux équipements vis-à-vis des moyennes obtenues?
Hypothèses et alternatives:
Scénario N°1 H
Scénario N°2 H
Prise de risque: α = 0,05 (unilatérale et bilatérale:0,025)
La Table des valeurs critiques pour une distribution normale donne pour α = 0,05: Z = 1,64 (unilatérale) et α = 0,05: Z = 1,96 (bilatérale)
Test statistique:
On considère deux populations avec des moyennes µ
µ
Conclusion:
Pour le scénario 1 (distribution bilatérale),
Le Z-test est compris entre -1,96 et + 1,96, l'hypothèse nulle H
Pour le scénario 2 (distribution unilatérale),
le Z-test est supérieur à 1,64 et l'hypothèse nulle H
Z-test pour comparer deux comptages (distribution de Poisson)
Objectif: pour étudier l'importance de la différence entre deux comptages.
Contraintes: le test est assez approximatif et suppose que l'échantillonnage doit être de grande taille (distribution normale).
Problème: un laboratoire est équipé
de deux analyseurs automatiques qui réalisent respectivement n
Que peut-on penser de la fréquence de chaque équipement?
Hypothèses et alternatives:
Scénario N°1 H
Prise de risque: α = 0,025 bilatérale
La Table des valeurs critiques pour une distribution normale donne pour α = 0,05: Z = 1,96 (bilatérale)
Test statistique:
On considère deux comptages n
R
Conclusion:
Le Z-test est compris entre -1,96 et + 1,96, l'hypothèse nulle H
t-Test sur les moyennes de deux populations (variances inconnues et identiques)
Objectif: pour étudier l'importance de la différence entre les moyennes de deux populations.
Contraintes: les distributions doivent être normales.
Problème: deux balances automatiques (1 et 2) équipent un analyseur de gaz dans les métaux, la pesée standard est habituellement de 5 grammes.
On prélève aléatoirement n
Que peut-on dire des balances par rapport aux poids mesurés?
Hypothèses et alternatives:
Scénario N°1 H
Prise de risque: α = 0,05 (bilatérale:0,025)
La Table des valeurs critiques pour
une distribution de Student donne pour α = 0,05 et ν=n
On considère deux populations avec des moyennes µ
la meilleure estimation de la variance de la population est donnée par:
s = 0,255
µ
Conclusion:
Le t est compris entre -2,07 et +2,07 et l'hypothèse nulle H
t-Test sur les moyennes de deux populations (variances inconnues et non identiques)
Objectif: pour étudier l'importance de la différence entre les moyennes de deux populations.
Contraintes: le test est approximatif si
les distributions sont normales et si l'échantillonnage est trop important,
le test doit seulement être utilisé sur l'hypothèse µ
Problème: Un laboratoire doit acquérir un nouvel équipement mais il manque de place. Possédant deux anciens équipements identiques E1 et E2, il va falloir mettre au rebut l'un de ses deux équipements.
Afin de préciser son choix, le laboratoire décide de réaliser 2000 analyses sur un blanc (solution ne contenant rien) sur chaque équipement et de quantifier chaque valeur qui dépasse un certain seuil fixé par le laboratoire et qui correspond à une valeur erronée et aléatoire lors des mesures.
L'équipement E1 présente 8 valeurs hors seuil
avec une moyenne x̄
L'équipement E2 présente 5 valeurs hors seuil
avec une moyenne x̄
Hypothèses et alternatives:
Scénario N°1 H
Prise de risque: α = 0,05
La Table des valeurs critiques pour
une distribution de Student donne pour α = 0,05 et ν=6,5
degrés de liberté donc t
Test statistique:
On considère deux populations avec des moyennes µ
t= 2,76
Le t n'est pas compris entre -2,41 et +2,41 et l'hypothèse nulle H
t-Test sur les moyennes de deux populations (Méthode de comparaison par paire ou appariée)
Objectif: Pour étudier l'importance de la différence
entre deux moyennes µ
Contraintes: les observations pour les deux échantillons doivent être obtenues par paires. Outre les différences de population, les observations de chaque paire doivent être effectuées dans des conditions identiques, ou presque identiques.
Le test est précis si les populations sont distribuées normalement.
Problème: dans un laboratoire d'analyse chimique, on dose un sel dilué dans une solution par gravimétrie après précipitation et séchage. Pour effectuer cette opération, le Laboratoire dispose de deux solutions complexantes E1 et E2.
Le laboratoire teste chaque produit E1 et E2 sur n=10 échantillons de sels dilués en mesurant le taux de sel récupéré après séchage en mg.
Les moyennes respectives obtenues après séchage
sur chaque échantillon sont x̄
La différence
s =1,11
Existe-t-il une différence entre les deux solutions E1 et E2 à partir des moyennes obtenues?
Hypothèses et alternatives:
Scénario N°1 H
Scénario N°2 H
Prise de risque: α = 0,05 (unilatérale et bilatérale:0,025)
La Table des valeurs critiques pour une distribution de Student donne pour α = 0,05: t = 1,83 (unilatérale) et α = 0,05: t = 2,26 (bilatérale)
Test statistique:
On considère deux populations avec des moyennes x̄
d̄ = x̄
Conclusion:
Quel que soit le scénario, l'hypothèse nulle H
Table des valeurs critiques pour une distribution normale
Table des valeurs critiques pour une distribution de student