Exemple d'estimation d'une incertitude selon ISO 98-3
Le but de l’exercice est d'estimer l'incertitude d'étalonnage d'une résistance de 1 Ω.
Méthode des 5 M:
Données :
Une résistance est étalonnée en utilisant une autre résistance de référence, les deux résistances sont connectées en série à une source de courant continu et chaque résistance reçoit la même tension.
Un voltmètre digital est utilisé pour mesurer le voltage qui
traverse les deux résistances: résolution = 0,1.10
A l'aide d'un by-pass, chaque résistance est contrôlée l'une après l'autre.
La valeur de la résistance soumise à étalonnage sera
notée R
Les voltages respectifs seront notés V
La valeur de la résistance étalon et son incertitude (k=2)
sont obtenues à partir du certificat: R
L'incertitude sur la stabilité est de 5.10
Chaque mesure de voltage sera mesurée 10 fois pour chaque résistance.
Préambule:
Etant donné que la même tension circule dans les résistances, on peut écrire:
Les facteurs contribuant à l'incertitude de mesure sont:
- L'incertitude sur les mesures répétées de V
- L'incertitude sur les mesures répétées de V
- L'incertitude liée à la résolution de lecture du Voltmètre
- Précision constructeur du voltmètre (0,025% +2 digits) de la valeur lue, on considérera que les 2 digits intégrent la résolution de lecture
- L'incertitude liée à la valeur certifiée de la résistance de référence
- L'incertitude liée à la stabilité de la valeur de référence
- L'incertitude liée à la différence de température entre le laboratoire et la température utilisée lors de l'étalonnage de la résistance de référence
L'incertitude sur R
Résultat des mesurages:
N° |
V |
V |
1 | 99,91963 | 99,92478 |
2 |
99,91970 | 99,92474 |
3 |
99,91968 | 99,92470 |
4 | 99,91977 | 99,92492 |
5 | 99,91986 | 99,92488 |
6 | 99,92058 | 99,92561 |
7 | 99,92055 | 99,92558 |
8 | 99,92008 | 99,92506 |
9 | 99,91987 | 99,92479 |
10 | 99,91968 | 99,92468 |
Moyenne | 99,919940 | 99,924974 |
Ecart-type | 3,544.10 |
3,461.10 |
Les incertitudes de type A en mV liées à la répétabilité sont données par les relations:
Le degré de liberté est de 9:(n-1=10-1)
Calcul de la résistance R
Détermination de l'incertitude sur R
Nous allons dériver la fonction de R
L'incertitude liée à la précision du voltmètre est comptée 2 fois (pour chaque résistance) et suit une distribution rectangulaire et vaut pour une tension d'environ 100 mV:
L'incertitude de la résistance de référence suit une loi normale et doit donc être divisée par deux pour être utilisée:
L'incertitude sur la stabilité suit une distribution rectangulaire et vaut:
L'incertitude liée à la température sera considérée comme négligeable car l'étalonnage a été réalisée dans les conditions du certificat de la résistance de référence: 20°C.
En reprenant la somme quadratique des différentes composantes, on obtient:
Avec un facteur d'élargissement k = 2, UR
Nous n'avons fait que 10 essais, il faut donc vérifier si nous pouvons prendre un facteur d'élargissement K = 2 avec la formule de Welch-Sattertwaite:
Le degré de liberté est suffisamment grand,
la valeur de la résistance peut donc s'écrire: R
Effet de corrélation lors des mesures de V
En effet, nous avons utilisé le même voltmètre
lors des mesurages et les mesures ont été réalisées
en même temps, les variables V
Nous devons donc déterminer le coefficient de corrélation (voir Exemple de propagation des erreurs) des données pour appliquer la loi de propagation de l'incertitude (2eme ordre de la série de Taylor).
Il nous faut calculer les différences suivantes:
N° |
|
||
1 | 99,91963 - 99,919940 | 99,92478 - 99,924974 | 6,014.10 |
2 |
99,91970 - 99,919940 | 99,92474 - 99,924974 | 5,616.10 |
3 |
99,91968 - 99,919940 | 99,92470 - 99,924974 | 7,124.10 |
4 | 99,91977 - 99,919940 | 99,92492 - 99,924974 | 9,18.10 |
5 | 99,91986 - 99,919940 | 99,92488 - 99,924974 | 7,52.10 |
6 | 99,92058 - 99,919940 | 99,92561 - 99,924974 | 40,704.10 |
7 | 99,92055 - 99,919940 | 99,92558 - 99,924974 | 36,966.10 |
8 | 99,92008 - 99,919940 | 99,92506 - 99,924974 | 1,204.10 |
9 | 99,91987 - 99,919940 | 99,92479 - 99,924974 | 1,288.10 |
10 | 99,91968 - 99,919940 | 99,92468 - 99,924974 | 7,644.10 |
Somme | / | / | 108,23.10 |
n(n-1) | / | / | 90 |
Somme /n(n-1) |
/ | / | 1,202.10 |
Calculons le coefficient de corrélation:
r = 0,109 (le coefficient est plus proche de 0 que de 1, les données ne sont pas très corrélées).
Si l'on poursuit l'estimation du terme du second ordre, cela donne:
Quantité negligeable qu'il faut rajouter à l'incertitude initialement estimée:
Avec un facteur d'élargissement k = 2, UR
La valeur de la résistance peut donc s'écrire:
R