Les contrôles statistiques
Le contrôle statistique est en opposition avec le contrôle à 100% qui coûte souvent cher mais qui reste obligatoire lorsque les résultats du contrôle statistique ne sont pas bons (il faut bien trier les pièces pour écarter les mauvaises) ou lorsque le produit est critique vis-à-vis de la sécurité des personnes.
Le contrôle statistique ou contrôle par échantillonnage s'adresse préférentiellement aux essais qui vont dégrader l'objet contrôlé et à la taille de la population (il est plus facile de contrôler quelques pièces sur 1000 ou 10000).
On distingue deux types de risque lors du contrôle statistique:
- Le risque client (utilisateur ou acheteur) appelé β (c'est la probabilité d'accepter un lot mauvais alors qu'il est bon).
- le risque fournisseur appelé α (c'est la probabilité de se voir refuser un lot alors qu'il est bon).
| Matrice | Le lot est conforme | Le lot n'est pas conforme |
| Refus | Risque α | Bonne décision |
| Acceptation | Bonne décision | Risque β |
La difficulté réside dont dans le fait de choisir le bon plan d'échantillonnage vis-à-vis de la population disponible.
Un laboratoire réalise des mesures d'épaisseur sur 25 pièces revêtues d'un dépôt d'or d'environ 1,5 µm (sur chaque pièce, on réalise 5 mesures par couloscopie) et la tolérance est de ±0,5 µm.
Nous souhaitons établir un contrôle statistique du process en utilisant la moyenne x̄ et l'étendue R̄.
| Nb | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Moyenne=x̄ | Max-Min=R̄ |
| 1 | 1,3235 | 1,4128 | 1,6744 | 1,4573 | 1,6914 | 1,5119 | 0,3679 |
| 2 | 1,4314 | 1,3592 | 1,6075 | 1,4666 | 1,6109 | 1,4951 | 0,2517 |
| 3 | 1,4284 | 1,4871 | 1,4932 | 1,4324 | 1,5674 | 1,4817 | 0,1390 |
| 4 | 1,5028 | 1,6352 | 1,3841 | 1,2831 | 1,5507 | 1,4712 | 0,3521 |
| 5 | 1,5604 | 1,2735 | 1,5265 | 1,4363 | 1,6441 | 1,4882 | 0,3706 |
| 6 | 1,5955 | 1,5451 | 1,3574 | 1,3281 | 1,4198 | 1,4492 | 0,2674 |
| 7 | 1,6274 | 1,5064 | 1,8366 | 1,4177 | 1,5144 | 1,5805 | 0,4189 |
| 8 | 1,4190 | 1,4303 | 1,6637 | 1,6067 | 1,5519 | 1,5343 | 0,2447 |
| 9 | 1,3884 | 1,7277 | 1,5355 | 1,5176 | 1,3688 | 1,5076 | 0,3589 |
| 10 | 1,4039 | 1,6697 | 1,5089 | 1,4627 | 1,5220 | 1,5134 | 0,2658 |
| 11 | 1,4158 | 1,7667 | 1,4278 | 1,5928 | 1,4181 | 1,5242 | 0,3509 |
| 12 | 1,5821 | 1,3355 | 1,5777 | 1,3908 | 1,7559 | 1,5284 | 0,4204 |
| 13 | 1,2856 | 1,4106 | 1,4447 | 1,6398 | 1,1928 | 1,3947 | 0,4470 |
| 14 | 1,4951 | 1,4036 | 1,5893 | 1,6458 | 1,4969 | 1,5261 | 0,2422 |
| 15 | 1,3589 | 1,2863 | 1,5996 | 1,2497 | 1,5471 | 1,4083 | 0,3499 |
| 16 | 1,5747 | 1,5301 | 1,5171 | 1,1839 | 1,8662 | 1,5344 | 0,6823 |
| 17 | 1,3680 | 1,7269 | 1,3957 | 1,5014 | 1,4449 | 1,4874 | 0,3589 |
| 18 | 1,4163 | 1,3864 | 1,3057 | 1,6210 | 1,5573 | 1,4573 | 0,3153 |
| 19 | 1,5796 | 1,4185 | 1,6541 | 1,5116 | 1,7247 | 1,5777 | 0,3062 |
| 20 | 1,7106 | 1,4412 | 1,2361 | 1,3820 | 1,7601 | 1,5060 | 0,5240 |
| 21 | 1,4371 | 1,5051 | 1,3485 | 1,5670 | 1,4880 | 1,4691 | 0,2185 |
| 22 | 1,4338 | 1,5936 | 1,6583 | 1,4973 | 1,4720 | 1,5390 | 0,1863 |
| 23 | 1,5917 | 1,4333 | 1,5551 | 1,5295 | 1,6866 | 1,5592 | 0,2533 |
| 24 | 1,6399 | 1,5243 | 1,5705 | 1,5563 | 1,5530 | 1,5688 | 0,1156 |
| 25 | 1,5797 | 1,3663 | 1,6240 | 1,3732 | 1,6887 | 1,5264 | 0,3224 |
Nous allons calculer la moyenne des moyennes avec la relation suivante:
Nous allons calculer l'étendue moyenne avec la relation suivante:
Si on utilise une carte de contrôle sur la moyenne, les limites maxi et mini sont calculées de la manière suivante:
Le coefficient A
UCL=1,5056+0,577.0,32521=1,693
LCL=1,5056-0,577.0,32521=1,318
Si on utilise une carte de contrôle sur l'étendue, les limites maxi et mini sont calculées de la manière suivante:
Les coefficients D
UCL=2,114.0,32521=0,6875
LCL=0
Nous allons estimer la capabilité du process:
La moyenne x̄ et R fournissent des informations sur la performance et la capabilité du process.
L'écart-type du process en µm peut être estimé par la relation suivante:
L'écart-type calculé sur les 125 valeurs est de 0,1332 µm.
Nous allons estimer la fraction d'épaisseurs non-conforme:
En supposant que les épaisseurs mesurées ont une distribution selon une loi normale, nous connaissons l'épaisseur moyenne (1,5056 µm) et la tolérance du process (±0,5 µm soit Maxi=2,0 µm et Mini=1,0 µm).
Il faut calculer la probabilité suivante:
p=0,035% soit 350 PPM (parties par million) représente le taux probable de non-conformité.
Les valeurs de Φ (fonction de distribution cumulative) sont données dans le tableau ci-dessous:
Nous pouvons également fournir la capabilité du process avec la méthode des 6 σ:
Nous connaissons l'écart-type du process: 0,1398 µm et la tolérance du process: ±0,5 µm soit Maxi=USL=2,0 µm et Mini=LSL=1,0 µm.
Cp est supérieur à 1 (voir schéma a).
Nous pouvons estimer le pourcentage utilisé dans la bande de spécification:
Nous connaissons la capabilité du process: 1,192 et il se calcule avec la relation suivante:
Le process utilise 84% de la bande de tolérance.
Nous avons vu que pour un pourcentage de 84 %, la probabilité d'obtenir des épaisseurs non-conformes est de 0,035%.
Si nous avions eu un Cp= 1 (schéma b), le process utiliserait 100% de la bande de tolérance, l'écart-type du process serait donc de 0,166 µm et la probabilité d'obtenir des épaisseurs non-conformes serait de 0,27% (soit 2700 PPM en reprenant le calcul de la probabilité).
Dans le cas d'un Cp<1 (schéma c), le process utiliserait plus de 100% de de la bande de tolérance, l'écart-type du process serait donc supérieur à 0,166 µm et le nombre d'épaisseurs non-conformes serait exponentiel.
Statistiquement, Cpdoit être >1,33, cela correspond à 75% de la bande de tolérance et un taux probable de non-conformité de 0,004% (dans les conditions de l'exemple bien sûr).
Constantes de Burr pour les limites des cartes de contrôle
Les valeurs de Φ (fonction de distribution cumulative)
