Les intervalles de confiance
Généralement, pour un résultat donné ou mesuré, on peut lui attribuer un intervalle de tolérance ou un intervalle de confiance dans lequel, la valeur attribuée ou mesurée sera comprise.
Cet intervalle peut être considéré comme une incertitude de mesure de type A et dépend notamment de la taille de l'échantillonnage.
L'intervalle de confiance peut être conventionnellement présenté comme étant 100(1-α)% avec α un petit nombre < 0.5 (risque), si α = 0,05 alors l'intervalle de confiance est de 95%.
Cas d'une moyenne simple:
On peut attribuer un intervalle de confiance à la moyenne x̄ sous la forme:
avec s: écart-type expérimental (calculé avec f=n-1
degrés de liberté) et t
Prenons un exemple: un laboratoire réalise n=60 analyses
du Bore sur un lot de pièces en Acier et détermine une moyenne
de x̄=23 ppm, l'écart-type calculé est de S=16 ppm, et
pour un intervalle de confiance de 95%, nous avons vu que α = 0,05 donc
1-α/2 =0,975 et par conséquent t
Si nous avions considéré que la loi était normale, nous aurions multiplié (S=σ)/√n par 1,96 (n→∞)
Différence entre deux moyennes simples:
La difficulté réside dans le fait qu'il faut calculer un écart-type qui soit représentatif de la différence des valeurs de x̄ et ȳ:
avec f=fx+fy (dégré de liberté total), fx=nx-1 (dégré de liberté sur x), fy=ny-1 (degré de liberté sur y)
Reprenons un exemple: un laboratoire réalise nx=60 analyses du Bore sur un lot de pièces en Acier et détermine une moyenne de x̄=23 ppm, l'écart-type calculé est de Sx=16 ppm, puis réalise ny=45 analyses du Bore sur un second lot de pièces en Acier et détermine une moyenne de ȳ=28 ppm, l'écart-type calculé est de Sy=18 ppm.
avec f=59+44=103 (degré de liberté total), fx=60-1=59 (degré de liberté sur x), fy=45-1=44 (degré de liberté sur y)
Si, le laboratoire réalise le même nombre d'analyses avec des écarts-types différents, les formules se simplifient:
avec f=2(n-1)
Intervalle de confiance sur une courbe linéaire:
On considère une courbe d'équation Y=aX+b obtenue par titrage en reprenant les valeurs de la fiche: Incertitude sur la pente
| Données |
Y |
X |
| Unité | mV | ml |
| U | ± 10 | ± 0,2 |
| 1 |
75 | 1,0 |
| 2 |
109 | 1,5 |
| 3 | 150 | 2,0 |
| 4 | 175 | 2,5 |
| 5 | 210 | 3,0 |
| 6 | 243 | 3,5 |
| 7 | 279 | 4,0 |
a est obtenue par régréssion linéaire:
On peut alors déterminer aisément b par:
avec n=7
Nous allons calculer l'écart-type de la courbe avec la formule suivante:
est
obtenu à l'aide de l'équation Y=67,1X+9,4
L'intervalle de confiance sur Y va s'exprimer de la manière suivante:
t(1-α/2)= 2,5706 (f=n-2=7-2=5)
avec a=67,1 et b=9,4
Remarque: on ne peut pas comparer les valeurs obtenues avec les calculs de la fiche: Incertitude sur la pente car on avait fixé les incertitudes de mesure pour chacune des données d'entrées, ce qui n'est pas le cas ici, par contre on peut comparer plus facilement les valeurs obtenues avec la fiche technique: Application Numérique sur la nouvelle définition de l'étalonnage du VIM car nous avions utilisé la méthode de Monte-Carlo qui n'utilise que les données fournies et l'incertitude du titrant (± 2%), la valeur d'incertitude sur Y à 150 mV était de 4,6 mV, l'intervalle de confiance est ici de 4,3 mV en moyenne et de 3,5 mV pour une lecture de 150 mV.
Pourcentages de la distribution de Student
